⚒ Inégalité des pentes

\(f\) est une fonction convexe sur \(\mathbb R\)  si et seulement si, pour tous réels \(a,b,c\)  tels que \(a, \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\leqslant\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}\leqslant\dfrac{f(c)-f(b)}{c-b}\) .

1. On peut faire un raisonnement par l'absurde en supposant que  \(f\) est une fonction convexe bornée non constante. Il existe alors des réels \(a\) ,  \(b\) et \(c\)  tels que  \(a et 
\(f(a)< f(b)\)  ou \(f(b)>f(c)\) . Il s'agit alors de poser \(c=x\)  ou \(a=x\)  et d'utiliser l'inégalité des pentes.